Mentales Modell oder Fakten – was zuerst?

Beim Mathematiklernen kommt es darauf an, gute Vorstellungen der mathematischen Objekte (Zahlen, Flächen, Operationen, … ) zu entwickeln sowie gleichzeitig mit den Symbolen ( +,-, * , = , … ) umgehen zu können und sehr viele Fakten ( 1×1 , 1+1 , 1-1 , …) zu wissen. Damit stellt sich auch die Frage, was man zuerst entwickeln sollte: die Vorstellungen, also die mentalen Modelle, oder lieber zuerst Faktenwissen.

Da die mathematischen Objekte abstrakt sind, wir Menschen aber gewohnt sind, eher in Bildern, zu denken macht es sicher Sinn, zunächst Bilder im Kopf (mentale Modelle) aufzubauen, bevor man diese dann nutzt. Man Beispiel der Addition, die durch das Symbol + notiert wird soll dies verdeutlicht werden:

Die Aufgabe 2+3 kann gelöst werden, wenn ich das Ergebnis auswendig gelernt habe. Weiter kann sie gelöst werden, wenn ich +3 als Aufforderung interpretiere, von 2 aus um 3 vorwärts zu zählen. Vorwärts zählen bedeutet die Zahlwortreihe (eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, …) ab ‚zwei‘ vorwärts zu gehen und gleichzeitig zu zählen/zu kontrollieren wie viele Schritte man schon vorwärts gezählt hat:

  • ‚zwei‘  erster Schritt vorwärts, man ist bei ‚drei‘
  • ‚drei‘  zweiter Schritt vorwärts, man ist bei ‚vier‘
  • ‚vier‘ dritter Schritt vorwärts, man ist bei ‚fünf‘

Da die Aktionen vorwärts zählen und mitzählen, wie viel man schon gezählt hat, koordiniert werden müssen, was für Ungeübte mühsam ist, nutzen Kinder hier gern ihre Finger um mitzuzählen und zu kontrollieren. Auch hier zeigt sich wieder die Stärke von Bildern: ich schaue auf meine Finger und sehe sofort wie viel ich weitergezählt habe. Vorwärts zählen, bzw. die Zahlwortreihe aufzusagen ist dabei zunächst einmal eine sprachliche Fähigkeit, die kein mentales Modell erzeugt, die ich aber nutzen kann um einfache Additionsaufgaben zu lösen. Bei Aufgaben mit größeren Summanden kommt man mit dieser Zählstrategie aber schnell an Grenzen. Sie ist zu fehleranfällig, aufwändig und langsam.

Die Erklärung der Aufgabe 2+3 zeigt aber auch, dass wir nicht nur in Bildern denken, sondern auch Metaphern nutzen.  Vorwärts zählen wird metaphorisch wie vorwärtsgehen gedeutet. Vorwärtsgehen ist eine körperliche Erfahrung, die jeder gemacht hat und deshalb geeignet, als Erklärung zu dienen wie vorwärts zählen funktioniert. Man startet an einem Ort (bei einer Zahl) und geht mit gleichen Schritten drei Schritte vorwärts ( weiter zählen um 3 oder +3) und kommt zu einem Ort, der 3 Schritt vom Start entfernt ist ( die Zahl 5, das Ergebnis). Viele weitere Beispiel für Metaphern für die Mathematik findet man bei Nunez/Lakoff (Lakoff, G.; Nunez, R.E. (2000). Where Mathematics comes from. How the embodied Mind brings Mathematics into Being. New York (Basic Books).

Die Aufgabe 2+3 kann aber auch gelöst werden, wenn man mit Mengen arbeitet, d.h man hat zunächst eine Zweiermenge, legt dann eine Dreiermenge , schiebt alles zusammen und schaut nach wie viele Objekte die Vereinigungsmenge nun hat. Da man, wenn man ungeübt ist eine Menge mit fünf ungeordneten Objekten nicht auf einen Blick erfassen kann, braucht man wieder eine Strategie oder ein Werkzeug. Das Werkzeug kann wieder abzählen sein, man kann die Objekte aber auch geschickt so anordnen, dass man z.B. das Würfelbild ‚fünf‘ erkennen kann. Wenn dieses Würfelbild bekannt ist erkennt man sofort mit einem kurzen Blick, dass es ‚fünf‘ sind. Dieses Erkennen, Dehaene spricht hier von Subitzing, passiert spontan, es ist schnell und fehlerfrei, also auf jeden Fall besser als abzählen. Falls man es also schafft, bei den Kindern viele solche bekannten Bilder von Anzahlen, wie z.B. die Würfelbilder; zu initiieren können sie damit sicher und schnell rechnen, ohne zählen zu müssen, bevor sie die abstrakten Zahlensätze (2+3=5) auswendig lernen. Auswendig lernen ist sehr aufwändig und funktioniert bei abstrakten Dingen nicht sehr gut. Man lernt z.B. schneller ein Gedicht, das in Wortbildern eine Geschichte erzählt, als ein Nonsensegedicht, das keine Geschichte hat.

Das Arbeiten mit Bildern mentalen Modellen hat weiter den Vorteil, das Kinder leichter darüber reden können, was sie tun, getan haben, bzw. tun wollen, wenn sie rechnen.

Fazit: Mentale Modelle (Bilder im Kopf) entlasten und funktionieren ohne zählen zu müssen. Damit stellt sich schon die nächste Frage:

Wie baut man diese Bilder auf und wie nutzt man diese dann zum Rechnen?

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